Gasket Apollonian adalah jenis gambar fraktal yang terbentuk dari kumpulan lingkaran yang terus menyusut yang terkandung dalam satu lingkaran besar. Setiap lingkaran di Gasket Apollonian bersinggungan dengan lingkaran yang berdekatan - dengan kata lain, lingkaran di Gasket Apollonian membuat kontak pada titik-titik kecil yang tak terhingga. Dinamakan untuk ahli matematika Yunani Apollonius dari Perga, jenis fraktal ini dapat digambar (dengan tangan atau komputer) dengan tingkat kerumitan yang wajar, membentuk gambar yang indah dan mencolok. Lihat Langkah 1 di bawah untuk memulai.
Langkah
Bagian 1 dari 2: Memahami Konsep Utama
Untuk lebih jelasnya, jika Anda hanya tertarik menggambar Gasket Apollonian, tidak penting untuk meneliti prinsip-prinsip matematika di balik fraktal. Namun, jika Anda ingin memahami lebih dalam tentang Apollonian Gasket, penting untuk memahami definisi dari beberapa konsep yang akan kita gunakan saat mendiskusikannya.
Langkah 1. Tentukan istilah kunci
Istilah berikut digunakan dalam instruksi di bawah ini:
- Apollonian Gasket: Salah satu dari beberapa nama untuk jenis fraktal yang terdiri dari serangkaian lingkaran yang bersarang di dalam satu lingkaran besar dan bersinggungan dengan semua lingkaran lain di dekatnya. Ini juga disebut "Lingkaran Soddy" atau "Lingkaran Berciuman".
- Jari-jari lingkaran: Jarak dari titik pusat lingkaran ke tepinya. Biasanya diberikan variabel r.
- Kelengkungan lingkaran: Kebalikan positif atau negatif dari jari-jari, atau ±1/r. Kelengkungan adalah positif ketika berhadapan dengan kelengkungan luar lingkaran dan negatif untuk kelengkungan dalam.
- Tangen: Istilah yang diterapkan pada garis, bidang, dan bentuk yang berpotongan pada satu titik kecil yang tak terhingga. Dalam Gasket Apollonian, ini mengacu pada fakta bahwa setiap lingkaran menyentuh setiap lingkaran terdekat hanya pada satu titik. Perhatikan bahwa tidak ada persimpangan - bentuk singgung tidak tumpang tindih.
Langkah 2. Pahami Teorema Descartes
Teorema Descartes adalah rumus yang berguna untuk menghitung ukuran lingkaran dalam Gasket Apollonian. Jika kita mendefinisikan kelengkungan (1/r) dari setiap tiga lingkaran sebagai a, b, dan c, masing-masing, Teorema menyatakan bahwa kelengkungan lingkaran (atau lingkaran) bersinggungan dengan ketiganya, yang akan kita definisikan sebagai d, adalah: d = a + b + c ± 2 (a × b + b × c + c × a)).
Untuk tujuan kita, kita biasanya hanya akan menggunakan jawaban yang kita peroleh dengan meletakkan tanda tambah di depan akar kuadrat (dengan kata lain, … + 2 (persegi(…)). Untuk saat ini, cukup untuk mengetahui bahwa pengurangan bentuk persamaan memiliki kegunaannya dalam tugas-tugas terkait lainnya
Bagian 2 dari 2: Membuat Gasket Apollonian
Gasket Apollonian berbentuk pengaturan fraktal yang indah dari lingkaran yang mengecil. Secara matematis, Apollonian Gasket memiliki kompleksitas yang tak terbatas, tetapi, apakah Anda menggunakan program menggambar komputer atau alat menggambar tradisional, Anda akhirnya akan mencapai titik di mana tidak mungkin menggambar lingkaran yang lebih kecil. Perhatikan bahwa semakin tepat Anda menggambar lingkaran, semakin banyak Anda dapat memasukkan Gasket Anda.
Langkah 1. Kumpulkan alat menggambar digital atau analog Anda
Pada langkah-langkah di bawah ini, kita akan membuat Gasket Apollonian sederhana kita sendiri. Dimungkinkan untuk menggambar Gasket Apollonian dengan tangan atau di komputer. Dalam kedua kasus, Anda pasti ingin dapat menggambar lingkaran bulat sempurna. Ini cukup penting. Karena setiap lingkaran dalam Gasket Apollonian bersinggungan sempurna dengan lingkaran di sebelahnya, lingkaran yang bahkan sedikit cacat dapat "membuang" produk akhir Anda.
- Jika menggambar Gasket di komputer, Anda memerlukan program yang memungkinkan Anda menggambar lingkaran dengan radius tetap dari titik pusat dengan mudah. Gfig, ekstensi menggambar vektor untuk program pengeditan gambar gratis GIMP, dapat digunakan, seperti juga berbagai program menggambar lainnya (lihat bagian materi untuk tautan yang relevan). Anda juga mungkin memerlukan aplikasi kalkulator dan dokumen pengolah kata atau buku catatan fisik untuk mencatat lengkungan dan jari-jari.
- Untuk menggambar Gasket dengan tangan, Anda memerlukan kalkulator (disarankan ilmiah atau grafik), pensil, kompas, penggaris (sebaiknya skala dengan tanda milimeter, kertas grafik, dan buku catatan untuk mencatat.
Langkah 2. Mulailah dengan satu lingkaran besar
Tugas pertama Anda mudah - cukup gambar satu lingkaran besar yang bulat sempurna. Semakin besar lingkarannya, semakin kompleks Gasket Anda, jadi cobalah untuk membuat lingkaran sebesar kertas yang Anda izinkan atau sebesar yang dapat Anda lihat dengan mudah di satu jendela pada program menggambar Anda.
Langkah 3. Buat lingkaran yang lebih kecil di dalam aslinya, bersinggungan dengan satu sisi
Selanjutnya, gambar lingkaran lain di dalam lingkaran pertama yang lebih kecil dari aslinya, tetapi masih cukup besar. Ukuran yang tepat dari lingkaran kedua terserah Anda - tidak ada ukuran yang benar. Namun, untuk tujuan kita, mari menggambar lingkaran kedua kita sehingga mencapai tepat di tengah lingkaran luar kita yang besar. Dengan kata lain, mari kita menggambar lingkaran kedua kita sehingga titik pusatnya adalah titik tengah jari-jari lingkaran besar.
Ingatlah bahwa dalam Gasket Apollonian, semua lingkaran yang bersentuhan saling bersinggungan. Jika Anda menggunakan kompas untuk menggambar lingkaran dengan tangan, buat ulang efek ini dengan meletakkan titik tajam kompas di titik tengah jari-jari lingkaran luar yang besar, sesuaikan pensil Anda sehingga hanya menyentuh tepi lingkaran besar, kemudian gambar lingkaran dalam Anda yang lebih kecil
Langkah 4. Gambarlah lingkaran identik "di seberang" lingkaran dalam yang lebih kecil
Selanjutnya, mari kita menggambar lingkaran lain di seberang lingkaran pertama kita. Lingkaran ini harus bersinggungan dengan lingkaran luar yang besar dan lingkaran dalam yang lebih kecil, yang berarti bahwa kedua lingkaran dalam Anda akan bersentuhan tepat pada titik tengah lingkaran luar yang besar.
Langkah 5. Terapkan Teorema Descartes untuk menemukan ukuran lingkaran berikutnya
Mari kita berhenti menggambar sejenak. Sekarang kita memiliki tiga lingkaran di Gasket kita, kita dapat menggunakan Teorema Descartes untuk menemukan jari-jari lingkaran berikutnya yang akan kita gambar. Ingatlah bahwa Teorema Descartes adalah d = a + b + c ± 2 (a × b + b × c + c × a)), di mana a, b, dan c adalah kelengkungan tiga lingkaran singgung Anda dan d adalah kelengkungan lingkaran yang bersinggungan dengan ketiganya. Jadi, untuk mencari jari-jari lingkaran berikutnya, mari kita cari kelengkungan masing-masing lingkaran yang kita miliki sejauh ini sehingga kita dapat menemukan kelengkungan lingkaran berikutnya, lalu ubah ke jari-jarinya.
-
Mari kita tentukan jari-jari lingkaran luar kita sebagai
Langkah 1.. Karena lingkaran lain ada di dalam lingkaran ini, kita berurusan dengan kelengkungan interiornya (bukan kelengkungan eksteriornya), dan, akibatnya, kita tahu kelengkungannya negatif. - 1/r = -1/1 = -1. Kelengkungan lingkaran besar adalah - 1.
-
Jari-jari lingkaran yang lebih kecil adalah setengah dari lingkaran besar, atau, dengan kata lain, 1/2. Karena lingkaran-lingkaran ini saling bersentuhan dan lingkaran besar dengan tepi luarnya, kita berurusan dengan kelengkungan luarnya, jadi kelengkungannya positif. 1/(1/2) = 2. Kelengkungan lingkaran yang lebih kecil adalah keduanya
Langkah 2..
-
Sekarang, kita tahu bahwa a = -1, b = 2, dan c = 2 untuk persamaan Teorema Descartes kita. Mari kita selesaikan untuk d:
- d = a + b + c ± 2 (kuadrat (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kuadrat (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kuadrat (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Kelengkungan lingkaran kita selanjutnya adalah
Langkah 3.. Karena 3 = 1/r, jari-jari lingkaran berikutnya adalah 1/3.
Langkah 6. Buat kumpulan lingkaran Anda berikutnya
Gunakan nilai radius yang baru saja Anda temukan untuk menggambar dua lingkaran berikutnya. Ingatlah bahwa ini akan bersinggungan dengan lingkaran yang kelengkungannya Anda gunakan untuk a, b, dan c dalam Teorema Descartes. Dengan kata lain, mereka akan bersinggungan dengan lingkaran asli dan kedua. Agar lingkaran ini bersinggungan dengan ketiga lingkaran, Anda harus menggambarnya di ruang terbuka di bagian atas dan bawah area di dalam lingkaran besar asli Anda.
Ingatlah bahwa jari-jari lingkaran ini akan sama dengan 1/3. Ukur 1/3 ke belakang dari tepi lingkaran luar, lalu gambar lingkaran baru Anda. Itu harus bersinggungan dengan ketiga lingkaran di sekitarnya
Langkah 7. Lanjutkan dengan cara ini untuk terus menambahkan lingkaran
Karena mereka adalah fraktal, Gasket Apollonian sangat kompleks. Ini berarti Anda dapat menambahkan lingkaran yang semakin kecil ke isi hati Anda. Anda terbatas hanya pada ketepatan alat Anda (atau, jika Anda menggunakan komputer, kemampuan program gambar Anda untuk "memperbesar"). Setiap lingkaran, sekecil apa pun, harus bersinggungan dengan tiga lingkaran lainnya. Untuk menggambar setiap lingkaran berikutnya di Gasket Anda, pasang lengkungan dari tiga lingkaran yang akan bersinggungan dengan Teorema Descartes. Kemudian, gunakan jawaban Anda (yang akan menjadi jari-jari lingkaran baru Anda) untuk menggambar lingkaran baru Anda secara akurat.
- Perhatikan bahwa Gasket yang kita pilih untuk menggambar adalah simetris, jadi jari-jari satu lingkaran sama dengan lingkaran yang sesuai "di seberangnya". Namun, ketahuilah bahwa tidak setiap Gasket Apollonian simetris.
-
Mari kita bahas satu contoh lagi. Katakanlah, setelah menggambar kumpulan lingkaran terakhir, kita sekarang ingin menggambar lingkaran yang bersinggungan dengan himpunan ketiga, himpunan kedua, dan lingkaran luar besar kita. Kelengkungan lingkaran ini berturut-turut adalah 3, 2, dan -1. Mari kita masukkan angka-angka ini ke dalam Teorema Descartes, dengan menetapkan a = -1, b = 2, dan c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (kuadrat (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kuadrat (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kuadrat (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (persegi (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Kita punya dua jawaban! Namun, karena kita tahu bahwa lingkaran baru kita akan lebih kecil daripada lingkaran mana pun yang bersinggungan dengannya, hanya kelengkungan
Langkah 6. (dan oleh karena itu radius 1/6) masuk akal.
- Jawaban kami yang lain, 2, sebenarnya mengacu pada lingkaran hipotetis di sisi lain dari titik singgung lingkaran kedua dan ketiga kami. lingkaran ini adalah bersinggungan dengan kedua lingkaran ini dan lingkaran luar yang besar, tapi itu akan memotong lingkaran yang telah kita gambar, jadi kita bisa mengabaikannya.
Langkah 8. Untuk tantangan, coba buat Gasket Apollonian non-simetris dengan mengubah ukuran lingkaran kedua Anda
Semua Gasket Apollonian dimulai dengan cara yang sama - dengan lingkaran luar besar yang berfungsi sebagai tepi fraktal. Namun, tidak ada alasan bahwa lingkaran kedua Anda harus memiliki 1/2 jari-jari lingkaran pertama - kami hanya memilih untuk melakukan ini di atas karena sederhana dan mudah dimengerti. Untuk bersenang-senang, coba mulai Gasket baru dengan lingkaran kedua dengan ukuran berbeda - ini akan mengarah ke jalan eksplorasi baru yang menarik.
