Fungsi rasional adalah persamaan yang berbentuk y = N(x)/D(x) di mana N dan D adalah polinomial. Mencoba membuat sketsa grafik yang akurat dengan satu tangan dapat menjadi tinjauan komprehensif dari banyak topik matematika sekolah menengah yang paling penting dari aljabar dasar hingga kalkulus diferensial. Perhatikan contoh berikut: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Langkah
Langkah 1. Temukan intersep y
Cukup atur x = 0. Semuanya kecuali suku-suku konstanta lenyap, menyisakan y = 5/2. Menyatakan ini sebagai pasangan koordinat, (0, 5/2) adalah titik pada grafik. Gambarlah titik tersebut.
Langkah 2. Temukan asimtot horizontal
Bagi panjang penyebut ke dalam pembilang untuk menentukan perilaku y untuk nilai mutlak besar x. Dalam contoh ini, pembagian menunjukkan bahwa y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Untuk nilai x positif atau negatif besar, 17/(8 x + 4) mendekati nol, dan grafik mendekati garis y = (1/2) x - (7/4). Dengan menggunakan garis putus-putus atau ditarik ringan, buat grafik garis ini.
- Jika derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, tidak ada pembagian yang harus dilakukan, dan asimtotnya adalah y = 0.
- Jika deg(N) = deg(D), asimtot adalah garis horizontal pada rasio koefisien terkemuka.
- Jika deg(N) = deg(D) + 1, asimtotnya adalah garis yang kemiringannya adalah rasio koefisien-koefisien terdepan.
- Jika deg(N) > deg(D) + 1, maka untuk nilai besar | x |, y dengan cepat menuju tak terhingga positif atau negatif sebagai polinomial kuadrat, kubik, atau lebih tinggi. Dalam hal ini, mungkin tidak ada gunanya membuat grafik hasil bagi pembagian secara akurat.
Langkah 3. Temukan nolnya
Fungsi rasional bernilai nol jika pembilangnya nol, jadi atur N(x) = 0. Dalam contoh, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminan kuadrat ini adalah b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Karena diskriminan negatif, N(x), dan akibatnya f(x), tidak memiliki akar real. Grafik tidak pernah memotong sumbu x. Jika ada nol yang ditemukan, tambahkan titik-titik itu ke grafik.
Langkah 4. Temukan asimtot vertikal
Sebuah asimtot vertikal terjadi ketika penyebut adalah nol. Pengaturan 4 x + 2 = 0 menghasilkan garis vertikal x = -1/2. Gambarkan setiap asimtot vertikal dengan garis terang atau putus-putus. Jika beberapa nilai x menghasilkan N(x) = 0 dan D(x) = 0, mungkin ada atau tidak ada asimtot vertikal di sana. Ini jarang terjadi, namun simak tips cara mengatasinya jika terjadi.
Langkah 5. Lihat sisa pembagian pada langkah 2
Kapan positif, negatif, atau nol? Dalam contoh, pembilang sisanya adalah 17 yang selalu positif. Penyebutnya, 4 x + 2, positif di sebelah kanan asimtot vertikal dan negatif di sebelah kiri. Ini berarti bahwa grafik mendekati asimtot linier dari atas untuk nilai positif yang besar dari x dan dari bawah untuk nilai negatif yang besar dari x. Karena 17/(8 x + 4) tidak pernah bisa nol, grafik ini tidak pernah memotong garis y = (1/2) x - (7/4). Jangan menambahkan apa pun ke grafik sekarang, tetapi perhatikan kesimpulan ini untuk nanti.
Langkah 6. Temukan ekstrem lokal
Ekstrem lokal dapat terjadi jika N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. Dalam contoh, N'(x) = 4 x - 6 dan D'(x) = 4 N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Memperluas, menggabungkan suku, dan membagi dengan 4 daun x 2 + x - 4 = 0. Rumus kuadrat menunjukkan akar di dekat x = 3/2 dan x = -5/2. (Ini berbeda sekitar 0,06 dari nilai eksak, tetapi grafik kita tidak akan cukup tepat untuk mengkhawatirkan tingkat detail itu. Memilih aproksimasi rasional yang layak membuat langkah berikutnya lebih mudah.)
Langkah 7. Temukan nilai-y dari setiap ekstrem lokal
Masukkan kembali nilai-x dari langkah sebelumnya ke fungsi rasional asli untuk menemukan nilai-y yang sesuai. Dalam contoh, f(3/2) = 1/16 dan f(-5/2) = -65/16. Tambahkan titik-titik ini, (3/2, 1/16) dan (-5/2, -65/16), ke grafik. Karena kita memperkirakan pada langkah sebelumnya, ini bukan minima dan maxima yang tepat, tetapi mungkin mendekati. (Kita tahu (3/2, 1/16) sangat dekat dengan minimum lokal. Dari langkah 3, kita tahu bahwa y selalu positif ketika x > -1/2 dan kita menemukan nilai sekecil 1/16, jadi setidaknya dalam kasus ini, kesalahannya mungkin kurang dari ketebalan garis.)
Langkah 8. Hubungkan titik-titik dan rentangkan grafik dengan lancar dari titik yang diketahui ke asimtot dengan hati-hati mendekatinya dari arah yang benar
Berhati-hatilah untuk tidak memotong sumbu x kecuali pada titik-titik yang telah ditemukan pada langkah 3. Jangan melintasi asimtot horizontal atau linier kecuali pada titik-titik yang telah ditemukan pada langkah 5. Jangan mengubah kemiringan ke atas ke kemiringan ke bawah kecuali pada ekstrim yang ditemukan pada langkah sebelumnya.
Video - Dengan menggunakan layanan ini, beberapa informasi dapat dibagikan dengan YouTube
Tips
- Beberapa dari langkah-langkah ini mungkin melibatkan penyelesaian polinomial derajat tinggi. Jika Anda tidak dapat menemukan solusi eksak melalui faktorisasi, rumus, atau cara lain, maka perkirakan solusi tersebut menggunakan teknik numerik seperti metode Newton.
- Jika Anda mengikuti langkah-langkahnya secara berurutan, biasanya tidak perlu menggunakan uji turunan kedua atau metode rumit serupa yang berpotensi untuk menentukan apakah nilai kritis adalah maksima lokal, minima lokal, atau tidak keduanya. Coba gunakan informasi dari langkah sebelumnya dan sedikit logika terlebih dahulu.
- Jika Anda mencoba melakukan ini hanya dengan metode prakalkulus, Anda dapat mengganti langkah-langkah tentang menemukan ekstrem lokal dengan menghitung beberapa pasangan berurutan (x, y) tambahan di antara setiap pasangan asimtot. Atau, jika Anda tidak peduli mengapa itu berhasil, tidak ada alasan mengapa siswa prakalkulus tidak dapat mengambil turunan dari polinomial dan menyelesaikan N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = 0.
-
Dalam kasus yang jarang terjadi, pembilang dan penyebut mungkin memiliki faktor nonkonstan yang sama. Jika Anda mengikuti langkah-langkahnya, ini akan muncul sebagai nol dan asimtot vertikal di tempat yang sama. Itu tidak mungkin dan apa yang sebenarnya terjadi adalah salah satu dari berikut ini:
- Nol di N(x) memiliki multiplisitas yang lebih tinggi daripada nol di D(x). Grafik f (x) mendekati nol pada titik ini, tetapi tidak terdefinisi di sana. Tunjukkan ini dengan lingkaran terbuka di sekitar titik.
- Nol di N(x) dan nol di D(x) memiliki multiplisitas yang sama. Grafik mendekati beberapa titik bukan nol untuk nilai x ini, tetapi tidak terdefinisi di sana. Sekali lagi tunjukkan ini dengan lingkaran terbuka.
- Nol di N(x) memiliki multiplisitas yang lebih rendah daripada nol di D(x). Ada asimtot vertikal di sini.
