Cara Membuat Grafik Persamaan Kuadrat: 10 Langkah (dengan Gambar)

2024 Pengarang: Robert Blare | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-02-02 02:07

Jika dibuat grafik, persamaan kuadrat berbentuk kapak² + bx + c atau a(x - h)² + k berikan kurva berbentuk U yang halus atau kurva berbentuk U terbalik yang disebut parabola. Menggambarkan persamaan kuadrat adalah masalah menemukan titik sudutnya, arahnya, dan, seringkali, titik potong x dan y-nya. Dalam kasus persamaan kuadrat yang relatif sederhana, mungkin juga cukup untuk memasukkan rentang nilai x dan memplot kurva berdasarkan titik yang dihasilkan. Lihat Langkah 1 di bawah untuk memulai.

Langkah

Langkah 1. Tentukan bentuk persamaan kuadrat yang Anda miliki

Persamaan kuadrat dapat ditulis dalam tiga bentuk yang berbeda: bentuk standar, bentuk titik, dan bentuk kuadrat. Anda dapat menggunakan salah satu bentuk untuk membuat grafik persamaan kuadrat; proses pembuatan grafik masing-masing sedikit berbeda. Jika Anda mengerjakan soal pekerjaan rumah, Anda biasanya akan menerima soal dalam salah satu dari dua bentuk ini - dengan kata lain, Anda tidak akan dapat memilih, jadi sebaiknya pahami keduanya. Dua bentuk persamaan kuadrat adalah:

• Bentuk standar.

  Dalam bentuk ini, persamaan kuadrat ditulis sebagai: f(x) = ax² + bx + c di mana a, b, dan c adalah bilangan real dan a tidak sama dengan nol.

  Misalnya, dua persamaan kuadrat bentuk standar adalah f(x) = x² + 2x + 1 dan f(x) = 9x² + 10x -8.

• Bentuk simpul.

  Dalam bentuk ini, persamaan kuadrat ditulis sebagai: f(x) = a(x - h)² + k di mana a, h, dan k adalah bilangan real dan a tidak sama dengan nol. Bentuk simpul dinamakan demikian karena h dan k secara langsung memberikan Anda titik (titik pusat) parabola Anda pada titik (h, k).

  Dua persamaan bentuk titik adalah f(x) = 9(x - 4)² + 18 dan -3(x - 5)² + 1

• Untuk membuat grafik salah satu dari jenis persamaan ini, pertama-tama kita harus menemukan titik puncak parabola, yang merupakan titik pusat (h, k) di "ujung" kurva. Koordinat titik dalam bentuk standar diberikan oleh: h = -b/2a dan k = f(h), sedangkan dalam bentuk titik, h dan k ditentukan dalam persamaan.

Langkah 2. Tentukan variabel Anda

Untuk dapat menyelesaikan masalah kuadrat, variabel a, b, dan c (atau a, h, dan k) biasanya perlu didefinisikan. Masalah aljabar rata-rata akan memberi Anda persamaan kuadrat dengan variabel yang diisi, biasanya dalam bentuk standar, tetapi terkadang dalam bentuk simpul.

• Misalnya, untuk persamaan bentuk standar f(x) = 2x² +16x + 39, kita memiliki a = 2, b = 16, dan c = 39.
• Untuk persamaan bentuk simpul f(x) = 4(x - 5)² + 12, kita memiliki a = 4, h = 5, dan k = 12.

Langkah 3. Hitung h

Dalam persamaan bentuk titik, nilai Anda untuk h sudah diberikan, tetapi dalam persamaan bentuk standar, itu harus dihitung. Ingat bahwa, untuk persamaan bentuk standar, h = -b/2a.

• Dalam contoh bentuk standar kami (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Memecahkan, kami menemukan bahwa h = - 4.
• Dalam contoh bentuk simpul kita (f(x) = 4(x - 5)² + 12), kita tahu h = 5 tanpa melakukan matematika apapun.

Langkah 4. Hitung k

Seperti halnya h, k sudah diketahui dalam persamaan bentuk simpul. Untuk persamaan bentuk standar, ingat bahwa k = f(h). Dengan kata lain, Anda dapat menemukan k dengan mengganti setiap contoh x dalam persamaan Anda dengan nilai yang baru saja Anda temukan untuk h.

• Kami telah menentukan dalam contoh bentuk standar kami bahwa h = -4. Untuk mencari k, kita selesaikan persamaan kita dengan nilai h menggantikan x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Langkah 7.

• Dalam contoh bentuk simpul kita, sekali lagi, kita mengetahui nilai k (yaitu 12) tanpa harus melakukan matematika apa pun.

Langkah 5. Plot titik Anda

Titik puncak parabola Anda adalah titik (h, k) - h menentukan koordinat x, sedangkan k menentukan koordinat y. Titik puncak adalah titik pusat dalam parabola Anda - baik bagian paling bawah dari "U" atau bagian paling atas dari "U" yang terbalik. Mengetahui titik adalah bagian penting dari grafik parabola yang akurat - sering kali, dalam tugas sekolah, menentukan titik akan menjadi bagian yang diperlukan dari sebuah pertanyaan.

• Dalam contoh bentuk standar kami, simpul kami akan berada di (-4, 7). Jadi, parabola kita akan memuncak 4 spasi di sebelah kiri 0 dan 7 spasi di atas (0, 0). Kita harus memplot titik ini pada grafik kita, pastikan untuk memberi label koordinat.
• Dalam contoh bentuk simpul kita, simpul kita berada di (5, 12). Kita harus memplot titik 5 spasi ke kanan dan 12 spasi di atas (0, 0).

Langkah 6. Gambar sumbu parabola (opsional)

Sumbu simetri parabola adalah garis yang melalui tengahnya yang membagi sempurna menjadi dua. Di seberang sumbu ini, sisi kiri parabola akan mencerminkan sisi kanan. Untuk kuadrat dari bentuk ax² + bx + c atau a(x - h)² + k, sumbunya adalah garis yang sejajar dengan sumbu y (dengan kata lain vertikal sempurna) dan melalui titik tersebut.

Dalam kasus contoh bentuk standar kami, sumbu adalah garis yang sejajar dengan sumbu y dan melewati titik (-4, 7). Meskipun itu bukan bagian dari parabola itu sendiri, menandai garis ini dengan ringan pada grafik Anda pada akhirnya dapat membantu Anda melihat bagaimana parabola melengkung secara simetris

Langkah 7. Temukan arah pembukaan

Setelah mengetahui titik puncak dan sumbu parabola, selanjutnya kita perlu mengetahui apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah. Untungnya, ini mudah. Jika "a" positif, parabola akan terbuka ke atas, sedangkan jika "a" negatif, parabola akan terbuka ke bawah (yaitu, akan terbalik.)

• Untuk contoh bentuk standar kita (f(x) = 2x² +16x + 39), kita tahu bahwa kita memiliki bukaan parabola ke atas karena, dalam persamaan kita, a = 2 (positif).
• Untuk contoh bentuk simpul kita (f(x) = 4(x - 5)² + 12), kita tahu kita juga memiliki bukaan parabola ke atas karena a = 4 (positif).

Langkah 8. Jika perlu, temukan dan plot x intersep

Seringkali, pada tugas sekolah, Anda akan diminta untuk menemukan perpotongan x parabola (yang merupakan satu atau dua titik di mana parabola bertemu dengan sumbu x). Bahkan jika Anda tidak menemukannya, kedua titik ini bisa sangat berharga untuk menggambar parabola yang akurat. Namun, tidak semua parabola memiliki perpotongan x. Jika parabola Anda memiliki simpul terbuka ke atas dan memiliki simpul di atas sumbu x atau jika terbuka ke bawah dan memiliki simpul di bawah sumbu x, itu tidak akan memiliki x intersep. Jika tidak, selesaikan x intersep Anda dengan salah satu metode berikut:

• Cukup atur f(x) = 0 dan selesaikan persamaannya. Metode ini dapat bekerja untuk persamaan kuadrat sederhana, terutama dalam bentuk titik, tetapi akan terbukti sangat sulit untuk yang lebih rumit. Lihat di bawah untuk contoh

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt(1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 dan 13 adalah perpotongan x parabola.

• Faktorkan persamaan Anda. Beberapa persamaan pada sumbu² Bentuk + bx + c dapat dengan mudah difaktorkan ke dalam bentuk (dx + e)(fx +g), di mana dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, dan e × g = c. Dalam hal ini, x intersep Anda adalah nilai untuk x yang membuat salah satu istilah dalam tanda kurung = 0. Misalnya:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • Dalam kasus ini, satu-satunya intersep x Anda adalah -1 karena menyetel x sama dengan -1 akan membuat salah satu suku terfaktor dalam tanda kurung sama dengan 0.

• Gunakan rumus kuadrat. Jika Anda tidak dapat dengan mudah menyelesaikan perpotongan x atau memfaktorkan persamaan Anda, gunakan persamaan khusus yang disebut rumus kuadrat yang dirancang untuk tujuan ini. Jika belum, buat persamaan Anda ke dalam bentuk ax² + bx + c, lalu masukkan a, b, dan c ke dalam rumus x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. Perhatikan bahwa ini sering memberi Anda dua jawaban untuk x, yang tidak apa-apa - ini berarti parabola Anda memiliki dua titik potong x. Lihat di bawah untuk contoh:

  • -5x² + 1x + 10 dicolokkan ke rumus kuadrat sebagai berikut:
  • x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) dan (-15,18/-10). Perpotongan x parabola berada di sekitar x = - 1.318 dan 1.518
  • Contoh bentuk standar kami sebelumnya, 2x² + 16x + 39 dicolokkan ke rumus kuadrat sebagai berikut:
  • x = (-16 +/- SqRt(16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  • Karena menemukan akar kuadrat dari bilangan negatif tidak mungkin, kita tahu bahwa tidak ada x intersep ada untuk parabola khusus ini.

Langkah 9. Jika perlu, temukan dan plot intersep y

Meskipun sering kali tidak perlu menemukan titik potong y persamaan (titik di mana parabola melewati sumbu y), Anda mungkin akhirnya harus menemukannya, terutama jika Anda berada di sekolah. Proses ini cukup mudah - cukup atur x = 0, lalu selesaikan persamaan Anda untuk f(x) atau y, yang memberi Anda nilai y di mana parabola Anda melewati sumbu y. Tidak seperti penyadapan x, parabola standar hanya dapat memiliki satu penyadapan y. Catatan - untuk persamaan bentuk standar, titik potong y berada di y = c.

• Misalnya, kita tahu persamaan kuadrat kita 2x² + 16x + 39 memiliki intersep y pada y = 39, tetapi juga dapat ditemukan sebagai berikut:

  • f(x) = 2x² + 16x + 39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Perpotongan y parabola berada di y = 39.

    Seperti disebutkan di atas, intersep y berada di y = c.

• Persamaan bentuk simpul kita 4(x - 5)² + 12 memiliki intersep y yang dapat ditemukan sebagai berikut:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Perpotongan y parabola berada di y = 112.

Langkah 10. Jika perlu, plot titik-titik tambahan, lalu buat grafik

Anda sekarang harus memiliki titik, arah, x intersep, dan, mungkin, intersep y untuk persamaan Anda. Pada titik ini, Anda dapat mencoba menggambar parabola Anda menggunakan titik-titik yang Anda miliki sebagai pedoman, atau Anda dapat menemukan lebih banyak titik untuk "mengisi" parabola Anda sehingga kurva yang Anda gambar lebih akurat. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan memasukkan beberapa nilai x di kedua sisi simpul Anda, lalu plot titik-titik ini menggunakan nilai y yang Anda peroleh. Seringkali, guru akan meminta Anda untuk mendapatkan sejumlah poin sebelum Anda menggambar parabola Anda.

• Mari kita tinjau kembali persamaan x² + 2x + 1. Kita sudah tahu bahwa satu-satunya intersep x adalah pada x = -1. Karena hanya menyentuh titik potong x pada satu titik, kita dapat menyimpulkan bahwa titiknya adalah titik potong x, yang berarti titiknya adalah (-1, 0). Kami secara efektif hanya memiliki satu titik untuk parabola ini - hampir tidak cukup untuk menggambar parabola yang baik. Mari temukan beberapa lagi untuk memastikan kita menggambar grafik yang akurat.

  • Mari kita cari nilai y untuk nilai x berikut: 0, 1, -2, dan -3.
  • Untuk 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Poin kita adalah (0, 1).

  • Untuk 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Maksud kita adalah (1, 4).

  • Untuk -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Maksud kita adalah (-2, 1).

  • Untuk -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Maksud kita adalah (-3, 4).

  • Plot titik-titik ini ke grafik dan gambar kurva berbentuk U Anda. Perhatikan bahwa parabola simetris sempurna - ketika titik Anda di satu sisi parabola terletak pada bilangan bulat, Anda biasanya dapat menghemat beberapa pekerjaan hanya dengan mencerminkan titik tertentu melintasi sumbu simetri parabola untuk menemukan titik yang sesuai di sisi lain dari parabola.

Video - Dengan menggunakan layanan ini, beberapa informasi dapat dibagikan dengan YouTube

Tips

• Perhatikan bahwa dalam f(x) = ax² + bx + c, jika b atau c sama dengan nol, angka-angka itu hilang. Misalnya, 12x² + 0x + 6 menjadi 12x² + 6 karena 0x adalah 0.
• Bulatkan angka atau gunakan pecahan seperti yang diperintahkan oleh guru aljabar Anda. Ini akan membantu Anda membuat grafik persamaan kuadrat dengan benar.